Александр Вишневский родился 23 августа (4 сентября) 1874 г. в дагестанском селе Новоалександровка (ныне село Ниж.Чир-Юрт Кизилюртовского района). В 1899 г. окончил медицинский факультет Казанского университета. В ноябре 1903 г. защитил докторскую диссертацию.

С 1914 по 1925 г. руководил госпитальной хирургической клиникой, а с 1926 по 1934 г. — факультетской хирургической клиникой в Казани.

В 1934 г. Александр Вишневский был назначен директором хирургической клиники Центрального института усовершенствования врачей и Всесоюзного института экспериментальной медицины в Москве. В 1946 г. он стал директором Института хирургии Академии медицинских наук СССР.

Вишневский проводил исследования в области хирургии жёлчных путей, мочевой системы, грудной полости, а также нейрохирургии, хирургии военных повреждений и гнойных процессов. Он разработал самый известный метод обезболивания — новокаиновую блокаду, местную анестезию по методу ползучего инфильтрата. Самое известное достижение учёного — заживляющая масляно-бальзамическая повязка (мазь Вишневского). Врач получил Сталинскую премию (1942), орден Трудового Красного Знамени и много медалей. За год до смерти Вишневский основал Московский институт хирургии Академии медицинских наук (с 1948 г. клиника носит его имя).

Александр Вишневский скончался 13 ноября 1948 г. в Москве.