В 1922 году окончил медицинский факультет 1-го МГУ. В 20-х годах работал на кафедре факультетской терапии 1-го Ленинградского медицинского института. Огромное влияние на его научную образованность оказал Г.Ф. Ланг, под руководством которого А.Л. Мясников начал работать в Ленинграде.
Затем А.Л. Мясников преподавал в Новосибирском государственном институте усовершенствования врачей при кафедре терапии.
В 1934 году вышла первая крупная монография А.Л. Мясникова «Болезни печени», которая на основании новых методов исследований, накопившихся научных фактов, позволила пересмотреть представления о сущности основных болезней печени, этой главной «лаборатории» человеческого организма. Монография предвосхитила многие современные идеи в этой области медицины.
В 1936 году выходит вторая книга А.Л. Мясникова «Висцеральная малярия», в которой впервые дан подробный анализ поражения внутренних органов при этом заболевании.
В годы Великой Отечественной войны А.Л. Мясников – главный терапевт Военно-морского флота.
После войны в 1945 году выходит книга А.Л. Мясникова «Клиника алиментарной дистрофии». В 40-е годы он пишет учебник по терапии, который благодаря ясности, краткости и глубине изложения материала имел исключительный успех у студентов и врачей и неоднократно переиздавался в нашей стране и за рубежом.
Особенно важными проблемами кажутся ему болезни печени и сердечно-сосудистой системы: в 1946 году А.Л. Мясников выпускает монографию «Эпидемические гепатиты».
А.Л. Мясников популярен как клиницист. Этому способствовало умение применить последние достижения медицинской науки, которое дополнялось богатым клиническим опытом.
С 1948 по 1965 год А.Л. Мясников руководил клиникой госпитальной терапии 1-го МОЛМИ.
С 1948 года А.Л. Мясников - директор Института терапии АМН СССР. В 1967 году на базе Института терапии АМН СССР был создан Институт кардиологии имени А.Л. Мясникова научно-исследовательского центра АМН СССР. Перед зданием института установлен бюст А.Л. Мясникова.
С 1957 года А.Л. Мясников – председатель Российского общества терапевтов.
С 1960 года А.Л. Мясников – полпред советской медицины на научных международных конференциях по сердечно-сосудистым заболеваниям: на IV Всемирном конгрессе кардиологов (1961) в Мексике, на VI Международном конгрессе по вопросам питания (1963) в Шотландии, на III Конгрессе кардиологов стран Азии и Тихого океана (1964) в Японии и др.
Действительный член АМН СССР (1948), автор 9 монографий, 4 учебников, 250 научных статей, награжден множеством орденов (Ленина, Трудового Красного Знамени и др.), а также международной премией «Золотой стетоскоп» (1964).